अवकल समीकरण (y^{2}+2x) frac{dy}{dx}=y का हल x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{y^{2}+2x}{y} = y + \frac{2x}{y}$

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$x=y^{2}(1+\log_{e} y)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{y^{2}+2x}{y} = y + \frac{2x}{y}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(y) = -\frac{2}{y}$ और $Q(y) = y$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \log_{e} y} = e^{\log_{e} y^{-2}} = y^{-2} = \frac{1}{y^{2}}$ है। सामान्य हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर, $x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y \cdot \frac{1}{y^{2}} dy + C = \int \frac{1}{y} dy + C = \log_{e} y + C$ प्राप्त होता है। अतः, $x = y^{2}(\log_{e} y + C)$। दिया गया है कि जब $y=1$ है तो $x=1$, इसलिए इन मानों को रखने पर: $1 = 1^{2}(\log_{e} 1 + C) \Rightarrow 1 = 1(0 + C) \Rightarrow C = 1$। सामान्य हल में $C=1$ रखने पर, हमें $x = y^{2}(\log_{e} y + 1)$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ का हल $x=1, y=1$ को संतुष्ट करता है। तो हल क्या है?

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यदि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + e^x(x^2 - 2)y = (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x}$ का हल $y(0) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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