अवकल समीकरण e^{-x}(y + 1)dy + (cos^2 x - sin | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $e^{-x}(y + 1)dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$$y e^{-x}$ से भाग देने पर: $\frac{y+1}{y} dy + e^x (\cos^2 x - \sin 2x) dx = 0$$(

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$\log y + y + e^x \cos^2 x = 2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $e^{-x}(y + 1)dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$$y e^{-x}$ से भाग देने पर: $\frac{y+1}{y} dy + e^x (\cos^2 x - \sin 2x) dx = 0$$(1 + \frac{1}{y}) dy + e^x \cos^2 x dx - e^x \sin 2x dx = 0$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = C$चूँकि $\int e^x \cos^2 x dx = \int e^x (\frac{1 + \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx$सूत्र $\int e^x \cos 2x dx = \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2 \sin 2x)$ का उपयोग करने पर:$\int e^x \cos^2 x dx = \frac{e^x}{2} + \frac{e^x}{10} (\cos 2x + 2 \sin 2x) = \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x)$तथा $\int e^x \sin 2x dx = \frac{e^x}{5} (\sin 2x - 2 \cos 2x)$मान रखने पर: $y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x - 2 \sin 2x + 4 \cos 2x) = C$$y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + 5 \cos 2x) = C \implies y + \log y + e^x \frac{1 + \cos 2x}{2} = C \implies y + \log y + e^x \cos^2 x = C$$x = 0, y = 1$ पर: $1 + \log 1 + e^0 \cos^2 0 = C \implies 1 + 0 + 1(1) = C \implies C = 2$अंतिम हल: $y + \log y + e^x \cos^2 x = 2$

अवकल समीकरण $e^{-x}(y + 1)dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$ का हल, जहाँ $x = 0$ पर $y = 1$ है, होगा

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