अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x+y-3}{x+y-7} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-3}{x+y-7}$.माना $v = x+y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} =

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$(x+y-5)^2 = C e^{y-x}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-3}{x+y-7}$.माना $v = x+y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.इसे समीकरण में रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v-3}{v-7}$.$\frac{dv}{dx} = \frac{v-3}{v-7} + 1 = \frac{v-3+v-7}{v-7} = \frac{2v-10}{v-7} = \frac{2(v-5)}{v-7}$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{v-7}{v-5} dv = \int 2 dx$.$\int \frac{(v-5)-2}{v-5} dv = 2x + C$.$\int (1 - \frac{2}{v-5}) dv = 2x + C$.$v - 2 \ln |v-5| = 2x + C$.$v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - 2 \ln |x+y-5| = 2x + C$.$y-x-C = 2 \ln |x+y-5|$.$\ln |x+y-5|^2 = y-x-C$.दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $(x+y-5)^2 = e^{y-x-C} = C' e^{y-x}$.अतः, सही विकल्प $B$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-3}{x+y-7}$ का व्यापक हल है

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