अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + y = cos x का हल ज् | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = \cos x$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$

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$y = \frac{1}{2}(\cos x + \sin x) + ce^{-x}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = \cos x$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर,$y e^x = \int \cos x \cdot e^x dx + c$.$\int e^x \cos x dx$ को हल करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं:माना $I = \int e^x \cos x dx$.$I = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$.पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$I = e^x \cos x + (e^x \sin x - \int e^x \cos x dx) = e^x \cos x + e^x \sin x - I$.$2I = e^x(\cos x + \sin x) \implies I = \frac{1}{2} e^x(\cos x + \sin x)$.अतः,$y e^x = \frac{1}{2} e^x(\cos x + \sin x) + c$.$e^x$ से भाग देने पर,$y = \frac{1}{2}(\cos x + \sin x) + ce^{-x}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = \cos x$ का हल ज्ञात कीजिए।

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