समीकरण frac{x^2 d^2y}{dx^2} = ln x का हल ज्ञा | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\ln x}{x^2}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\frac{dy}{dx} = \int \frac{\ln x}{

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$-\frac{1}{2}(\ln x)^2 - \ln x$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\ln x}{x^2}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\frac{dy}{dx} = \int \frac{\ln x}{x^2} dx$ प्राप्त होता है।खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \ln x$ और $dv = x^{-2} dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$ और $v = -\frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।$\frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x}{x} - \int (-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2} dx = -\frac{\ln x + 1}{x} + C_1$ है।$x = 1$ पर $\frac{dy}{dx} = -1$ दिया गया है:$-1 = -\frac{\ln(1) + 1}{1} + C_1 \Rightarrow -1 = -1 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0$ है।अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x + 1}{x}$ है।पुनः समाकलन करने पर:$y = -\int \frac{\ln x + 1}{x} dx$ प्राप्त होता है।$t = \ln x$ लेने पर,$dt = \frac{1}{x} dx$:$y = -\int (t + 1) dt = -(\frac{t^2}{2} + t) + C_2 = -\frac{(\ln x)^2}{2} - \ln x + C_2$ है।$x = 1$ पर $y = 0$ दिया गया है:$0 = -\frac{(\ln 1)^2}{2} - \ln(1) + C_2 \Rightarrow 0 = 0 - 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$ है।अतः,हल $y = -\frac{1}{2}(\ln x)^2 - \ln x$ है।

समीकरण $\frac{x^2 d^2y}{dx^2} = \ln x$ का हल ज्ञात कीजिए,जब $x = 1$ पर $y = 0$ और $\frac{dy}{dx} = -1$ है।

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