एक रेडियोधर्मी पदार्थ,जिसका प्रारंभिक द्रव्यम | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है। क्षय की दर $\frac{dm}{dt} = -km$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k > 0$ क्षय स्थिरांक है।$\frac{dm}{m}

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{m_0}{h} \log 2$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है। क्षय की दर $\frac{dm}{dt} = -km$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k > 0$ क्षय स्थिरांक है।$\frac{dm}{m} = -k dt$ का समाकलन करने पर,हमें $\log m = -kt + c$ प्राप्त होता है।$t = 0$ पर,$m = m_0$,इसलिए $c = \log m_0$ है।अतः,$\log m = -kt + \log m_0$,जिसका अर्थ है $\log(\frac{m}{m_0}) = -kt$।अर्ध-आयु $h$ दी गई है,इसलिए $t = h$ पर,$m = \frac{m_0}{2}$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\log(\frac{1}{2}) = -kh$,जो $-\log 2 = -kh$ या $k = \frac{\log 2}{h}$ देता है।प्रारंभिक क्षय दर $t = 0$ पर $\frac{dm}{dt}$ का मान है।$\frac{dm}{dt} = -km_0 = -(\frac{\log 2}{h})m_0 = -\frac{m_0}{h} \log 2$।

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मान लीजिए $\int_0^x \sqrt{1-\left(y^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x y(t) dt, 0 \leq x \leq 3, y \geq 0$,$y(0)=0$ है। तो $x=2$ पर,$y^{\prime \prime}+y+1$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sin x+e^{x}$,$y(0)=3$,और $x=0$ पर $\frac{d y}{d x}$ का मान $4$ है,तो वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$,जहाँ $x \in (-a, a)$,अवकल समीकरण $x + y \frac{dy}{dx} = 0$ (जहाँ $y \neq 0$) का हल है।

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