अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{sqrt{1-y^2}}{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$ चरों को अलग करने पर: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$ मान लीजिए $u = 1-y^

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$1$ इकाई की स्थिर त्रिज्या है और केंद्र $X$-अक्ष पर चर है

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$ चरों को अलग करने पर: $\int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int dx$ मान लीजिए $u = 1-y^2$,तब $du = -2y dy$,अर्थात $y dy = -\frac{1}{2} du$. समाकलन में यह मान रखने पर: $-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = x + C$ $-\frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = x + C$ $-\sqrt{1-y^2} = x + C$ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1-y^2 = (x+C)^2$ $(x+C)^2 + y^2 = 1$ यह वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है,जहाँ केंद्र $(-C, 0)$ है और त्रिज्या $r = 1$ है। चूँकि $C$ एक स्वेच्छ अचर है,इसलिए केंद्र $(-C, 0)$ $X$-अक्ष पर बदलता रहता है,जबकि त्रिज्या $1$ इकाई स्थिर रहती है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$ वृत्तों के एक ऐसे परिवार को निर्धारित करता है जिसकी

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यदि $y = e^{-mx}$, अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + 4 \frac{dy}{dx} + 3y = 0$ का एक हल है, तो $m$ के मान हैं

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