20 પદો સુધીનો સરવાળો 1+3+11+25+45+71+ldots કો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $S_{20} = 1+3+11+25+45+71+\ldots+T_{20}$ છે.ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $2, 8, 14, 20, 26, \ldots$ છે,જે $6$ ના સામાન્ય તફાવત સા

Vedclass · Accepted Answer

$7240$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $S_{20} = 1+3+11+25+45+71+\ldots+T_{20}$ છે.ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $2, 8, 14, 20, 26, \ldots$ છે,જે $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) બનાવે છે.પ્રથમ ક્રમનો તફાવત સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,સામાન્ય પદ $T_n$ એ $T_n = an^2 + bn + c$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત પદાવલિ છે.પ્રથમ ત્રણ પદોનો ઉપયોગ કરીને:$T_1 = a + b + c = 1$$T_2 = 4a + 2b + c = 3$$T_3 = 9a + 3b + c = 11$સમીકરણો બાદ કરતા:$(T_2 - T_1) \implies 3a + b = 2$$(T_3 - T_2) \implies 5a + b = 8$આ પરિણામો બાદ કરતા: $2a = 6 \implies a = 3$.$3a+b=2$ માં $a=3$ મુકતા,$9+b=2 \implies b = -7$.$a+b+c=1$ માં $a=3, b=-7$ મુકતા,$3-7+c=1 \implies c = 5$.આમ,સામાન્ય પદ $T_n = 3n^2 - 7n + 5$ છે.$20$ પદોનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{20} (3n^2 - 7n + 5) = 3 \sum_{n=1}^{20} n^2 - 7 \sum_{n=1}^{20} n + \sum_{n=1}^{20} 5$ છે.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:$= 3 \left( \frac{20(21)(41)}{6} \right) - 7 \left( \frac{20(21)}{2} \right) + 5(20)$$= 3(2870) - 7(210) + 100$$= 8610 - 1470 + 100 = 7240$.

$20$ પદો સુધીનો સરવાળો $1+3+11+25+45+71+\ldots$ કોના બરાબર છે?

Similar Questions

શ્રેણી $2 + 7 + 14 + 23 + 34 + \dots$ નું $99^{th}$ પદ શોધો.

શ્રેણી $5+11+19+29+41+\ldots$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $..........$ છે.

$1 + \frac{1}{2}(1^2+2^2) + \frac{1}{3}(1^2+2^2+3^2) + \dots$ શ્રેણીના $10$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$11^3 + 12^3 + \dots + 20^3$

જો $3 + 3\alpha + 3\alpha^2 + \dots \infty = \frac{45}{8}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શું થશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module