સરવાળો $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$ એ નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?

જ્યારે $(11)^{1011} + (1011)^{11}$ ને $9$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

જો $[x]$ એ $x$ માટે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવતું હોય,તો $\left[(2+\sqrt{3})^5\right]$ ના ધન પૂર્ણાંક ભાજકોની સંખ્યા કેટલી થાય?

ધારો કે $a, b, c, d$ ધન પૂર્ણાંકો છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. જો $9$ એ $a^3+b^3+c^3$ ને ભાગે,તો $3$ એ $abc$ ને ભાગે છે.
$II$. જો $9$ એ $a^3+b^3+c^3+d^3$ ને ભાગે,તો $3$ એ $abcd$ ને ભાગે છે.

ધારો કે સંખ્યા $(22)^{2022} + (2022)^{22}$ ને $3$ વડે ભાગતા શેષ $\alpha$ અને $7$ વડે ભાગતા શેષ $\beta$ મળે છે. તો $(\alpha^2 + \beta^2)$ ની કિંમત શોધો.

કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$(15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$ એ નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?