બધા જ ધન પૂર્ણાંકો n નો સરવાળો શોધો જેના માટે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ છે.સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ અને $\sum_{k=1}^

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ છે.સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ અને $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \frac{\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6n(2n+1)}{n+1} = 12n - 6 + \frac{6}{n+1}$.$S$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $n+1$ એ $6$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.$6$ ના અવયવો $1, 2, 3, 6$ છે.તેથી $n+1 \in \{1, 2, 3, 6\}$,જે આપણને $n \in \{0, 1, 2, 5\}$ આપે છે.$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી $n \in \{1, 2, 5\}$.આ કિંમતોનો સરવાળો $1+2+5 = 8$ થાય છે.

બધા જ ધન પૂર્ણાંકો $n$ નો સરવાળો શોધો જેના માટે $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ પણ એક પૂર્ણાંક હોય.

Similar Questions

જો $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ અને $x=3, 4, 5, \ldots$ માટે $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ હોય,તો $f(10)=$

જો પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો તેમના સરવાળા કરતા $330$ જેટલો વધારે હોય,તો $n = $

શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો જેનું $n^{th}$ પદ $a_n = n^2 + 2^n$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.

$\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{7^n}}}}$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots$ $16$ પદો સુધી $=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module