$2, 3, 5, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને અંકોના પુનરાવર્તન વગર બનાવી શકાતી તમામ શક્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય?

ક્રમિત જોડીઓ $(m, n)$ ની સંખ્યા,જ્યાં $m, n \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,એવી રીતે કે જેથી $6^m + 9^n$ એ $5$ નો ગુણક હોય,તે શોધો.

ધારો કે અગિયાર અક્ષરો $A, B, ....., K$ એ પૂર્ણાંકો $(1, 2, ....., 11)$ ના કોઈપણ ક્રમચય (permutation) દર્શાવે છે. તો,ગુણાકાર $(A - 1)(B - 2)(C - 3) ..... (K - 11)$ નું સ્વરૂપ શું હશે?

$0, 2, 3, 4, 7, 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તનની છૂટ સાથે $5$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવે છે અને તેમને ચડતા ક્રમમાં અનુક્રમ નંબર સાથે ગોઠવવામાં આવે છે. તો સંખ્યા $42923$ નો અનુક્રમ નંબર $...............$ છે.

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને અંકોનું પુનરાવર્તન કર્યા વગર બનાવી શકાતી $4$ અંકની સંખ્યાઓમાંથી,$6$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓ કેટલી છે?

એક વર્ગમાં $3$ હેતુલક્ષી પ્રકારના પ્રશ્નો ધરાવતી કસોટી લેવામાં આવે છે. દરેક પ્રશ્નના $4$ વિકલ્પો છે અને માત્ર એક જ વિકલ્પ સાચો જવાબ છે. વર્ગના કોઈ પણ બે વિદ્યાર્થીઓએ સમાન જવાબ આપ્યા નથી અને કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ બધા જ સાચા જવાબો લખ્યા નથી. જો દરેક વિદ્યાર્થીએ બધા પ્રશ્નોના પ્રયત્ન કર્યા હોય,તો કસોટી આપનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા કેટલી છે?