$1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને અંકોનું પુનરાવર્તન કર્યા વગર બનાવી શકાતી $4$ અંકની સંખ્યાઓમાંથી,$6$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓ કેટલી છે?

$7$ બેટ્સમેન અને $6$ બોલરોના જૂથમાંથી,$10$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે,જેમાં ઓછામાં ઓછા $4$ બેટ્સમેન અને ઓછામાં ઓછા $4$ બોલર હોવા જોઈએ. એક બેટ્સમેન અને એક બોલર,જેઓ અનુક્રમે ટીમના કેપ્ટન અને વાઇસ-કેપ્ટન છે,તેમને સામેલ કરવાના છે. તો આવી પસંદગી કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. ધારો કે $x$ એ ગણ $S$ ના અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $9$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા છે જેમાં માત્ર એક અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે અને તે બરાબર બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે. ધારો કે $y$ એ ગણ $S$ ના અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $9$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા છે જેમાં માત્ર બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે અને તે દરેક બરાબર બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે. તો,

$9$ દડા $9$ ખોખામાં મૂકવાના છે. $3$ ખોખા એટલા નાના છે કે જેમાં $5$ દડા મૂકી શકાતા નથી,તો દરેક ખોખામાં એક-એક દડો કેટલી રીતે મૂકી શકાય?

પૂર્ણાંક $n$ અને $r$ માટે,ધારો કે $\binom{n}{r} = \begin{cases} ^{n}C_{r}, & \text{જો } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$. $k$ ની મહત્તમ કિંમત જેના માટે સરવાળો $\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} + \sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તે ...... છે.

જો $n = ^mC_2$ હોય,તો $^nC_2$ નું મૂલ્ય શું થાય?