$\theta \in [0, 2\pi]$ के उन सभी संभावित मानों का योग, जिनके लिए समीकरण निकाय : $x \cos 3\theta - 8y - 12z = 0, x \cos 2\theta + 3y + 3z = 0, x + y + 3z = 0$ का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, किसके बराबर है?

मान लीजिए $S = \left\{ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & c \\ 1 & a & d \\ 1 & b & e \end{bmatrix} : a, b, c, d, e \in \{0, 1\} \text{ और } |A| \in \{-1, 1\} \right\}$,जहाँ $|A|$,$A$ का सारणिक दर्शाता है। तो $S$ में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $x, y, z > 0$ क्रमशः $G.P.$ के $2^{nd}, 3^{rd}, 4^{th}$ पद हैं,और $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+1} & x^{k+2} \\ y^k & y^{k+1} & y^{k+2} \\ z^k & z^{k+1} & z^{k+2} \end{vmatrix} = (r-1)^2 \left(1 - \frac{1}{r^2}\right)$,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है। तो $k = \dots$

$\lambda$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x - 2y - 2z = \lambda x$,$x + 2y + z = \lambda y$,और $-x - y = \lambda z$ के अशून्य हल हैं।

मूलबिंदु $(0, 0)$ को बिंदु $(-4, 5)$ से जोड़ने वाली रेखा का समीकरण क्या है?

यदि $k = p + q + r$ है,तो $\left|\begin{array}{ccc} k+r & p & q \\ r & k+p & q \\ r & p & k+q \end{array}\right|$ का मान किसके बराबर है?