मान लीजिए x, y, z 0 क्रमशः G.P. के 2^{nd}, | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ है। दिया गया है $x = ar, y = ar^2, z = ar^3$.इन मानों को सारणिक $\Delta$ में रखने पर:$\Delta = \begin{

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$-1$

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(A) मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ है। दिया गया है $x = ar, y = ar^2, z = ar^3$.इन मानों को सारणिक $\Delta$ में रखने पर:$\Delta = \begin{vmatrix} (ar)^k & (ar)^{k+1} & (ar)^{k+2} \ (ar^2)^k & (ar^2)^{k+1} & (ar^2)^{k+2} \ (ar^3)^k & (ar^3)^{k+1} & (ar^3)^{k+2} \end{vmatrix}$$R_1$ से $(ar)^k$,$R_2$ से $(ar^2)^k$,और $R_3$ से $(ar^3)^k$ बाहर लेने पर:$\Delta = (ar)^k (ar^2)^k (ar^3)^k \begin{vmatrix} 1 & ar & a^2r^2 \ 1 & ar^2 & a^2r^4 \ 1 & ar^3 & a^2r^6 \end{vmatrix}$$= a^{3k} r^{k(1+2+3)} \cdot a^2 r^3 \begin{vmatrix} 1 & r & r^2 \ 1 & r^2 & r^4 \ 1 & r^3 & r^6 \end{vmatrix}$$= a^{3k+2} r^{6k+3} (r-1)(r^2-r)(r^2-1) = a^{3k+2} r^{6k+3} r(r-1)^2(r+1)(r-1)$दी गई अभिव्यक्ति से तुलना करने पर,$k = -1$ प्राप्त होता है।

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यदि $\left|\begin{array}{lll}a & a^3 & a^4 \\ b & b^3 & b^4 \\ c & c^3 & c^4\end{array}\right|=k(a-b)(b-c)(c-a)$ है,तो $k=$

यदि $A = \begin{vmatrix} \sin(\theta + \alpha) & \cos(\theta + \alpha) & 1 \\ \sin(\theta + \beta) & \cos(\theta + \beta) & 1 \\ \sin(\theta + \gamma) & \cos(\theta + \gamma) & 1 \end{vmatrix}$ है,तो

$a$ का वह मान जिसके लिए समीकरण निकाय का एक शून्येतर हल है:
$a^{3} x+(a+1)^{3} y+(a+2)^{3} z=0$
$a x+(a+1) y+(a+2) z=0$
$x+y+z=0$

यदि $\alpha+\beta+\gamma=2 \pi$ है,तो समीकरणों के निकाय
$x+(\cos \gamma) y+(\cos \beta) z=0$
$(\cos \gamma) x+y+(\cos \alpha) z=0$
$(\cos \beta) x+(\cos \alpha) y+z=0$
के पास है:

$a$ का वह मान जिसके लिए समीकरण निकाय $a^3x + (a + 1)^3y + (a + 2)^3z = 0$,$ax + (a + 1)y + (a + 2)z = 0$ और $x + y + z = 0$ का एक शून्येतर हल है,वह है:

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