यदि alpha+beta+gamma=2 pi है,तो समीकरणों के न | vedclass

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Question

(B) समीकरणों का निकाय समघात है,जिसे $AX = 0$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $A$ गुणांक आव्यूह है।गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:$|A| = \begin{vm

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अनंत हल

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(B) समीकरणों का निकाय समघात है,जिसे $AX = 0$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $A$ गुणांक आव्यूह है।गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \cos \gamma & \cos \beta \ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end{vmatrix}$सारणिक का विस्तार करने पर:$|A| = 1(1 - \cos^2 \alpha) - \cos \gamma(\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta) + \cos \beta(\cos \gamma \cos \alpha - \cos \beta)$$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos^2 \beta$$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$दिया गया है कि $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$,इसलिए $\gamma = 2\pi - (\alpha + \beta)$,जिसका अर्थ है $\cos \gamma = \cos(\alpha + \beta)$।इस विशिष्ट सममित आव्यूह के सारणिक के लिए सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,यह ज्ञात है कि जब $\alpha + \beta + \gamma = 2n\pi$ होता है,तो $|A| = 0$ होता है।चूँकि $|A| = 0$ है,इसलिए समीकरणों के निकाय के अनंत हल हैं।

यदि $\alpha+\beta+\gamma=2 \pi$ है,तो समीकरणों के निकाय
$x+(\cos \gamma) y+(\cos \beta) z=0$
$(\cos \gamma) x+y+(\cos \alpha) z=0$
$(\cos \beta) x+(\cos \alpha) y+z=0$
के पास है:

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$\left|\begin{array}{ccc}\frac{-bc}{a^2} & \frac{c}{a} & \frac{b}{a} \\ \frac{c}{b} & \frac{-ac}{b^2} & \frac{a}{b} \\ \frac{b}{c} & \frac{a}{c} & \frac{-ab}{c^2}\end{array}\right| = $

यदि समीकरण निकाय $2x + 3y - z = 0$,$x + ky - 2z = 0$ और $2x - y + z = 0$ का एक अशून्य (non-trivial) हल $(x, y, z)$ है,तो $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\alpha+\beta+\gamma=2 \pi$ है,तो समीकरणों के निकाय$x+(\cos \gamma) y+(\cos \beta) z=0$$(\cos \gamma) x+y+(\cos \alpha) z=0$$(\cos \beta) x+(\cos \alpha) y+z=0$के पास है: