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Question

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a & a^3 & a^4 \ b & b^3 & b^4 \ c & c^3 & c^4\end{array}ight|$ है।$R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः

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$abc(ab+bc+ca)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a & a^3 & a^4 \ b & b^3 & b^4 \ c & c^3 & c^4\end{array}ight|$ है।$R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $\Delta = abc \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \ 1 & b^2 & b^3 \ 1 & c^2 & c^3\end{array}ight|$ प्राप्त होता है।$R_2 	o R_2 - R_1$ और $R_3 	o R_3 - R_1$ लागू करने पर:$\Delta = abc \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \ 0 & b^2-a^2 & b^3-a^3 \ 0 & c^2-a^2 & c^3-a^3\end{array}ight|$.$R_2$ से $(b-a)$ और $R_3$ से $(c-a)$ उभयनिष्ठ लेने पर:$\Delta = abc(b-a)(c-a) \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \ 0 & b+a & b^2+ab+a^2 \ 0 & c+a & c^2+ac+a^2\end{array}ight|$.$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $\Delta = abc(b-a)(c-a) [(c+a)(b^2+ab+a^2) - (b+a)(c^2+ac+a^2)]$.कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $(cb^2+abc+a^2c+ab^2+a^2b+a^3) - (bc^2+abc+a^2b+ac^2+a^2c+a^3) = cb^2+ab^2-bc^2-ac^2 = b^2c-bc^2+ab^2-ac^2 = bc(b-c) + a(b-c)(b+c) = (b-c)(bc+ab+ac)$.अतः,$\Delta = abc(b-a)(c-a)(b-c)(ab+bc+ca) = abc(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.$k(a-b)(b-c)(c-a)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = abc(ab+bc+ca)$ प्राप्त होता है।

यदि $\left|\begin{array}{lll}a & a^3 & a^4 \\ b & b^3 & b^4 \\ c & c^3 & c^4\end{array}\right|=k(a-b)(b-c)(c-a)$ है,तो $k=$

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सारणिक $ \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & a \\ b-c & c+a & b \\ c-a & a+b & c\end{array}\right| $ का मान है

$\begin{vmatrix} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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