अनुक्रम (1), (3, 5), (7, 9, 11), dots के n वे | vedclass

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Question

(D) क्रमिक समूहों में पदों की संख्या $1, 2, 3, \dots, n$ है। अतः,$n$ वें समूह में $d = 2$ के सार्व अंतर के साथ $n$ पद समांतर श्रेणी में हैं।सबसे पहले,

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$n^3$

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(D) क्रमिक समूहों में पदों की संख्या $1, 2, 3, \dots, n$ है। अतः,$n$ वें समूह में $d = 2$ के सार्व अंतर के साथ $n$ पद समांतर श्रेणी में हैं।सबसे पहले,हम $n$ वें समूह का प्रथम पद ज्ञात करते हैं। समूहों के प्रथम पद $1, 3, 7, 13, \dots$ हैं। मान लीजिए $a_n$,$n$ वें समूह का प्रथम पद है। क्रमिक प्रथम पदों के बीच का अंतर $2, 4, 6, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाता है।$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k) = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$.$n$ वां समूह $n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a = n^2 - n + 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।$n$ वें समूह का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ है।$S_n = \frac{n}{2} [2(n^2 - n + 1) + (n-1)2]$$S_n = \frac{n}{2} [2n^2 - 2n + 2 + 2n - 2]$$S_n = \frac{n}{2} [2n^2] = n^3$.

अनुक्रम $(1), (3, 5), (7, 9, 11), \dots$ के $n$ वें कोष्ठक के सभी पदों का योग किसके बराबर है?

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