sum_{n=0}^{infty} frac{(n+1)^2}{7^n} का मान ज | vedclass

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Question

(A) माना $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{7^n} = \frac{1^2}{7^0} + \frac{2^2}{7^1} + \frac{3^2}{7^2} + \frac{4^2}{7^3} + \dots$$\frac{1}{7}$ से

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{49}{27}$

Vedclass · Answer

(A) माना $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{7^n} = \frac{1^2}{7^0} + \frac{2^2}{7^1} + \frac{3^2}{7^2} + \frac{4^2}{7^3} + \dots$$\frac{1}{7}$ से गुणा करने पर:$\frac{S}{7} = \frac{1^2}{7^1} + \frac{2^2}{7^2} + \frac{3^2}{7^3} + \dots$दोनों समीकरणों को घटाने पर:$S - \frac{S}{7} = 1 + \frac{2^2 - 1^2}{7^1} + \frac{3^2 - 2^2}{7^2} + \frac{4^2 - 3^2}{7^3} + \dots$$\frac{6S}{7} = 1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है। माना $T = 1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$$\frac{T}{7} = \frac{1}{7} + \frac{3}{7^2} + \frac{5}{7^3} + \dots$घटाने पर:$T - \frac{T}{7} = 1 + \frac{2}{7} + \frac{2}{7^2} + \frac{2}{7^3} + \dots$$\frac{6T}{7} = 1 + \frac{2/7}{1 - 1/7} = 1 + \frac{2/7}{6/7} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$T = \frac{4}{3} 	imes \frac{7}{6} = \frac{14}{9}$चूंकि $\frac{6S}{7} = T$,इसलिए $\frac{6S}{7} = \frac{14}{9} \Rightarrow S = \frac{14}{9} 	imes \frac{7}{6} = \frac{98}{54} = \frac{49}{27}$.

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{7^n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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