(1+2x)^n के द्विपद विस्तार में सभी गुणांकों क | vedclass

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Question

(C) $(1+2x)^n$ में सभी गुणांकों का योग $x=1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $(1+2)^n = 3^n = 6561$ देता है। चूँकि $3^8 = 6561$,इसलिए $n=8$ है। दिया गया है

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$(\sqrt{2}-1)^4$

Vedclass · Answer

(C) $(1+2x)^n$ में सभी गुणांकों का योग $x=1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $(1+2)^n = 3^n = 6561$ देता है। चूँकि $3^8 = 6561$,इसलिए $n=8$ है। दिया गया है $R = (1+2x)^n = (1+\sqrt{2})^8 = I+F$,जहाँ $I \in N$ और $0 मान लीजिए $F' = (\sqrt{2}-1)^8$ है। चूँकि $0 $R + F' = (\sqrt{2}+1)^8 + (\sqrt{2}-1)^8$ पर विचार करें। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करने पर,विषम पद कट जाते हैं,जिससे एक सम पूर्णांक प्राप्त होता है। अतः,$I+F+F' = 	ext{सम पूर्णांक}$,जिसका अर्थ है $F+F' = 1$ क्योंकि $0 इसलिए,$F = 1 - F' = 1 - (\sqrt{2}-1)^8$ है। अब,$1 - \frac{F}{1+(\sqrt{2}-1)^4} = 1 - \frac{1-(\sqrt{2}-1)^8}{1+(\sqrt{2}-1)^4}$ की गणना करें। वर्गों के अंतर $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,$1-(\sqrt{2}-1)^8 = [1-(\sqrt{2}-1)^4][1+(\sqrt{2}-1)^4]$ प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$1 - [1-(\sqrt{2}-1)^4] = (\sqrt{2}-1)^4$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $C$ है।

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