समीकरण sin^{-1} 2x = cos^{-1} x के सभी हलों क | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1} 2x = \cos^{-1} x$माना $\cos^{-1} x = 	heta$,तो $x = \cos 	heta$। चूँकि $\cos^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $x

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$\frac{1}{\sqrt{5}}$

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(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1} 2x = \cos^{-1} x$माना $\cos^{-1} x = 	heta$,तो $x = \cos 	heta$। चूँकि $\cos^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $x \in [-1, 1]$ होना चाहिए।साथ ही,$\sin^{-1} 2x$ के परिभाषित होने के लिए $2x \in [-1, 1]$,अतः $x \in [-1/2, 1/2]$।सर्वसमिका $\cos^{-1} x = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$ ($x \ge 0$ के लिए) का उपयोग करने पर:$\sin^{-1} 2x = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$$2x = \sqrt{1-x^2}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4x^2 = 1 - x^2$$5x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 1/5$$x = \pm 1/\sqrt{5}$जाँच:यदि $x = -1/\sqrt{5}$ है,तो $\sin^{-1}(-2/\sqrt{5})$ एक ऋणात्मक कोण देता है,जबकि $\cos^{-1}(-1/\sqrt{5})$ दूसरे चतुर्थांश में एक धनात्मक कोण देता है।अतः,$x = -1/\sqrt{5}$ एक अतिरिक्त हल है।यदि $x = 1/\sqrt{5}$ है,तो यह समीकरण को संतुष्ट करता है।अतः,एकमात्र हल $x = 1/\sqrt{5}$ है।सभी हलों का योग $1/\sqrt{5}$ है।

समीकरण $\sin^{-1} 2x = \cos^{-1} x$ के सभी हलों का योग ज्ञात कीजिए।

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