$\alpha$ के उन सभी मानों का योग,जिनके लिए बिंदु जिनके स्थिति सदिश $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,$(\alpha+1) \hat{i}+2 \hat{k}$ और $9 \hat{i}+(\alpha-8) \hat{j}+6 \hat{k}$ समतलीय हैं,बराबर है

मान लीजिए $\overrightarrow{OP} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OQ} = \hat{i} + \frac{\beta-1}{\beta} \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{OR} = \hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ तीन सदिश हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R} - \{0\}$ और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है। यदि $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, 2)$ समतल $3x + 3y - z + l = 0$ पर स्थित है,तो $l$ का मान ज्ञात कीजिए।

मूल्यांकन करें: $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$

यदि सदिश $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ के समतल में स्थित है,जहाँ $\overline{a}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\overline{c}=x\hat{i}-(2-x)\hat{j}-\hat{k}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $i+3j-2k$,$2i-j+4k$ और $3i+2j+xk$ समतलीय हैं,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $V = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $W = \hat{i} + 3\hat{k}$ है। यदि $U$ एक इकाई सदिश है, तो $[U V W]$ का अधिकतम मान क्या है?