$A.P.$ $54, 51, 48, \dots$ के कितने पदों का योग $513$ है? दो अलग-अलग उत्तर प्राप्त होने का कारण स्पष्ट कीजिए।

(A) $A.P.$ $54, 51, 48, \dots$ के लिए,प्रथम पद $a = 54$,सार्व अंतर $d = 51 - 54 = -3$ और $n$ पदों का योग $S_{n} = 513$ है।
सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करने पर:
$513 = \frac{n}{2}[2(54) + (n - 1)(-3)]$
$1026 = n[108 - 3n + 3]$
$1026 = n[111 - 3n]$
$1026 = 111n - 3n^{2}$
$3n^{2} - 111n + 1026 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$n^{2} - 37n + 342 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 18)(n - 19) = 0$
अतः,$n = 18$ या $n = 19$ है।
दो उत्तर मिलने का कारण: इस $A.P.$ का $19$ वाँ पद $T_{19} = a + 18d = 54 + 18(-3) = 54 - 54 = 0$ है। चूँकि $19$ वाँ पद $0$ है,इसलिए पहले $18$ पदों के योग में $0$ जोड़ने पर योग में कोई परिवर्तन नहीं होता है। अतः,$S_{18}$ और $S_{19}$ दोनों का मान $513$ है।