श्रेणी 1 + frac{3}{2} + frac{7}{4} + frac{15} | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \dots$ है। $n$-वां पद $T_n = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ है,जहाँ

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$38 + \frac{1}{2^{19}}$

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(D) दी गई श्रेणी $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \dots$ है। $n$-वां पद $T_n = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ है,जहाँ $n \ge 1$ है। प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (2 - \frac{1}{2^{n-1}})$ है। $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} 2 - \sum_{n=1}^{20} \frac{1}{2^{n-1}}$. $S_{20} = 2(20) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{19}})$. दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 1$,$r = \frac{1}{2}$,और $n = 20$ है। योग $= \frac{1(1 - (1/2)^{20})}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^{20}}) = 2 - \frac{1}{2^{19}}$. अतः,$S_{20} = 40 - (2 - \frac{1}{2^{19}}) = 38 + \frac{1}{2^{19}}$.

श्रेणी $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \frac{31}{16} + \dots$ के प्रथम $20$ पदों का योग क्या है?

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$1 + (1 + a)x + (1 + a + a^2)x^2 + \dots \infty = \dots \, (0 < a, x < 1)$

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