શ્રેણી frac{1}{{1 + {1^2} + {1^4}}} + frac{2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $T_n$ એ શ્રેણીનું $n$-મું પદ છે.$T_n = \frac{n}{{1 + n^2 + n^4}} = \frac{n}{{(1 + n^2)^2 - n^2}}$નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{n(n + 1)}}{{2({n^2} + n + 1)}}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $T_n$ એ શ્રેણીનું $n$-મું પદ છે.$T_n = \frac{n}{{1 + n^2 + n^4}} = \frac{n}{{(1 + n^2)^2 - n^2}}$નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:$T_n = \frac{n}{{(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)}}$આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{{n^2 - n + 1}} - \frac{1}{{n^2 + n + 1}} \right]$અહીં $n^2 - n + 1 = 1 + n(n - 1)$ અને $n^2 + n + 1 = 1 + n(n + 1)$ છે.તેથી,$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{{1 + (n - 1)n}} - \frac{1}{{1 + n(n + 1)}} \right]$.$r=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો લેતા:$S_n = \sum_{r=1}^n T_r = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{{1 + (n-1)n}} - \frac{1}{{1 + n(n+1)}} \right) \right]$આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી વચ્ચેના તમામ પદો ઉડી જશે:$S_n = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{{1 + n(n + 1)}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1 + n^2 + n - 1}{{n^2 + n + 1}} \right] = \frac{n(n + 1)}{{2(n^2 + n + 1)}}$.

શ્રેણી $\frac{1}{{1 + {1^2} + {1^4}}} + \frac{2}{{1 + {2^2} + {2^4}}} + \frac{3}{{1 + {3^2} + {3^4}}} + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

$\frac{3}{2}$ અને $\frac{27}{2}$ વચ્ચેનો ગુણોત્તર મધ્યક શોધો.

$n$ ના તમામ ધન પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે,$3 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + 3 \cdot n \cdot (n + 1)$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે એક વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ તમામ $x, y \in R$ માટે $f(x+y)=f(x) f(y)$ અને $f(1)=3$ નું પાલન કરે છે. જો $\sum_{i=1}^{n} f(i)=363$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}$ હોય,તો $n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત શોધો જેથી $2 - S_n < \frac{1}{100}$ થાય.

શ્રેણી $3 + 7 + 11 + 15 + \dots$ અને $1 + 6 + 11 + 16 + \dots$ વચ્ચેના પ્રથમ $20$ સામાન્ય પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module