श्रेणी 1 cdot 3^2 + 2 cdot 5^2 + 3 cdot 7^2 + | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।$20$ पदों का योगफल ज्ञ

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$188090$

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(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।$20$ पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए,$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4\sum_{n=1}^{20} n^3 + 4\sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ की गणना करें।मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करने पर:$\sum_{n=1}^{N} n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2 = [\frac{20 \cdot 21}{2}]^2 = 44100$.$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$.$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $S_{20} = 4(44100) + 4(2870) + 210 = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.

श्रेणी $1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ के $20$ पदों तक का योगफल क्या है?

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