एक गुणोत्तर श्रेणी में तीन क्रमागत पदों का योग $14$ है। यदि पहले और दूसरे पद में $1$ जोड़ा जाए और तीसरे पद से $1$ घटाया जाए,तो प्राप्त नए पद समांतर श्रेणी में होते हैं। तो मूल पदों में सबसे छोटा पद है

तीन असमान धनात्मक संख्याएँ $a, b, c$ इस प्रकार हैं कि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं जबकि $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right), \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right), \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right)$ $A.P.$ में हैं। तो $a, b, c$ किस प्रकार के त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं?

उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए जिसका $n^{th}$ पद $a_{n} = (-1)^{n-1} 5^{n+1}$ है।

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) है। यदि $a_7 = 3$ है,गुणनफल $a_1 a_4$ न्यूनतम है और इसके प्रथम $n$ पदों का योग शून्य है,तो $n! - 4 a_{n(n+2)}$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $a_{1}=1$ और $n \ge 1$ के लिए, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ है। तो $|\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}-\frac{2}{n^{2}})|$ का मान ........... है।

मान लीजिए $V_r$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के प्रथम $r$ पदों का योग है,जिसका प्रथम पद $r$ है और सार्व अंतर $(2r-1)$ है। मान लीजिए $T_r = V_{r+1} - V_r - 2$ और $Q_r = T_{r+1} - T_r$ जहाँ $r = 1, 2, \ldots$
$1.$ योग $V_1 + V_2 + \ldots + V_n$ क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2-n+1)$
$(B)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2+n+2)$
$(C)$ $\frac{1}{2} n(2n^2-n+1)$
$(D)$ $\frac{1}{3}(2n^3-2n+3)$
$2.$ $T_r$ हमेशा क्या है?
$(A)$ एक विषम संख्या
$(B)$ एक सम संख्या
$(C)$ एक अभाज्य संख्या
$(D)$ एक भाज्य संख्या
$3.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ $5$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं
$(B)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ $6$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं
$(C)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ $11$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं
$(D)$ $Q_1 = Q_2 = Q_3 = \ldots$