एक वर्ग आव्यूह का ट्रेस (trace) उसके विकर्ण प | vedclass

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Question

(C) माना $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$। $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 	ext{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ द्वारा दिया जाता

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$5$

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(C) माना $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$। $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 	ext{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है कि $	ext{tr}(A) = a+d = 3$ और मान लीजिए $\Delta = \det(A) = ad-bc$ है। अतः,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 3\lambda + \Delta = 0$ है। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 3A + \Delta I = 0$,जिसका अर्थ है $A^2 = 3A - \Delta I$। $A$ से गुणा करने पर,हमें $A^3 = 3A^2 - \Delta A$ प्राप्त होता है। समीकरण में $A^2 = 3A - \Delta I$ प्रतिस्थापित करने पर: $A^3 = 3(3A - \Delta I) - \Delta A = 9A - 3\Delta I - \Delta A = (9 - \Delta)A - 3\Delta I$। दोनों पक्षों का ट्रेस लेने पर: $	ext{tr}(A^3) = (9 - \Delta)	ext{tr}(A) - 3\Delta 	ext{tr}(I)$। चूंकि $	ext{tr}(A^3) = -18$,$	ext{tr}(A) = 3$,और $	ext{tr}(I) = 2$ ($2 	imes 2$ आव्यूह के लिए): $-18 = (9 - \Delta)(3) - 3\Delta(2)$। $-18 = 27 - 3\Delta - 6\Delta$। $-18 = 27 - 9\Delta$। $9\Delta = 27 + 18 = 45$। $\Delta = 5$। अतः,$A$ का सारणिक $5$ है।

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सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} \cos(\theta + \phi) & -\sin(\theta + \phi) & \cos 2\phi \\ \sin \theta & \cos \theta & \sin \phi \\ -\cos \theta & \sin \theta & \cos \phi \end{array} \right|$ है :

यदि $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$ है, तो $\int_0^1 A(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A = \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x^2-x & x^2+x \\ 3x(x-1) & x(x^2-3x+2) & x(x^2-1) \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ है,तो $A$ की कोटि (rank) क्या है?

$x \neq 0$ के लिए सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 4 + x^2 & -6 & -2 \\ -6 & 9 + x^2 & 3 \\ -2 & 3 & 1 + x^2 \end{array} \right|$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य नहीं है?

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