int_{-pi}^pi frac{2 y(1+sin y)}{1+cos ^2 y} d | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y

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$\pi^2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y + \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. पहला भाग $\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y = 0$ है क्योंकि फलन विषम है। दूसरे भाग के लिए,चूंकि $y \sin y$ एक सम फलन है,इसलिए: $I = 2 \int_0^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. गुणधर्म $\int_0^a f(y) dy = \int_0^a f(a-y) dy$ का उपयोग करते हुए: $I = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-y) \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. $I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - I \implies 2I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y \implies I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. माना $t = \cos y$,तो $dt = -\sin y dy$. जब $y=0, t=1$; जब $y=\pi, t=-1$. $I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi [	an^{-1} t]_{-1}^1$. $I = 2\pi [	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)] = 2\pi [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = 2\pi [\frac{\pi}{2}] = \pi^2$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int_0^1 \log \left(\frac{1}{x}-1\right) d x=$

$\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx = $

$\int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right) d x=$

यदि $\int_{ - a}^a {\sqrt {\frac{{a - x}}{{a + x}}} \,dx = k\pi ,} $ है,तो $k = $

यदि $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$,जहाँ $0 < t < \pi$,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \, dt}{f(t)}$ का मान .......... है।

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