int_{-pi}^pi frac{2 y(1+sin y)}{1+cos ^2 y} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d

Vedclass · Accepted Answer

$\pi^2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y + \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. પ્રથમ ભાગ $\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y = 0$ છે કારણ કે વિધેય અયુગ્મ છે. બીજા ભાગ માટે,$y \sin y$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી: $I = 2 \int_0^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(y) dy = \int_0^a f(a-y) dy$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-y) \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. $I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - I \implies 2I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y \implies I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. ધારો કે $t = \cos y$,તો $dt = -\sin y dy$. જ્યારે $y=0, t=1$; જ્યારે $y=\pi, t=-1$. $I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi [	an^{-1} t]_{-1}^1$. $I = 2\pi [	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)] = 2\pi [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = 2\pi [\frac{\pi}{2}] = \pi^2$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$ નું મૂલ્ય શોધો:

Similar Questions

$\int_{-1}^{3} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^{2}+1}{x} \right) \right] dx =$

$\int_0^2 x^3(2-x)^4 \, dx = $

નિશ્ચિત સંકલન $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} \,dx$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{8-x}+\sqrt{x}} \, dx =$

સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{-a}^{a} x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right) d x$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module