int_{0}^{pi / 2} frac{cos 3 x+1}{2 cos x-1} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos 3x + 1}{2 \cos x - 1} dx$. નિત્યસમ $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos 3x +

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos 3x + 1}{2 \cos x - 1} dx$. નિત્યસમ $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos 3x + 1 = 4 \cos^3 x - 3 \cos x + 1$. કારણ કે $\cos(\pi/3) = 1/2$,આપણે $2 \cos x - 1 = 2(\cos x - \cos(\pi/3))$ લખી શકીએ. વળી,$4 \cos^3(\pi/3) - 3 \cos(\pi/3) + 1 = 4(1/8) - 3(1/2) + 1 = 1/2 - 3/2 + 1 = 0$. આમ,અંશ $4 \cos^3 x - 3 \cos x + 1 = 4 \cos^3 x - 3 \cos x - (4 \cos^3(\pi/3) - 3 \cos(\pi/3))$ છે. બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યને સરળ બનાવીએ: $\frac{4(\cos^3 x - \cos^3(\pi/3)) - 3(\cos x - \cos(\pi/3))}{2(\cos x - \cos(\pi/3))} = \frac{4(\cos^2 x + \cos x \cos(\pi/3) + \cos^2(\pi/3)) - 3}{2} = \frac{4 \cos^2 x + 2 \cos x + 1 - 3}{2} = 2 \cos^2 x + \cos x - 1$. $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2(\frac{1 + \cos 2x}{2}) + \cos x - 1 = 1 + \cos 2x + \cos x - 1 = \cos 2x + \cos x$. હવે,$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\cos 2x + \cos x) dx = [\frac{1}{2} \sin 2x + \sin x]_{0}^{\pi / 2} = (\frac{1}{2} \sin \pi + \sin(\pi/2)) - (0 + 0) = 0 + 1 = 1$.

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos 3 x+1}{2 \cos x-1} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

જો $\int_{0}^{a} \frac{dx}{4 + x^2} = \frac{\pi}{8}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-3}^3 |2-x| dx =$

$\int_5^{10} \frac{d x}{(x-1)(x-2)} = $

ધારો કે $f:(2, \infty) \rightarrow \mathbb{N}$ એ $f(x) = [x]$ નો સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$\int_{2}^{8} f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module