int_0^{1/2} frac{dx}{sqrt{1-x^{2n}}} का मान ( | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}$.$x \in (0, 1/2)$ के लिए, हमारे पास $0  1$ के लिए

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{6}$ से कम या उसके बराबर

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}$.$x \in (0, 1/2)$ के लिए, हमारे पास $0  1$ के लिए $x^{2n} यदि $n=1$ है, तो $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = [\sin^{-1} x]_0^{1/2} = \frac{\pi}{6}$.यदि $n > 1$ है, तो $x^{2n}  1 - x^2$.यह दर्शाता है कि $\sqrt{1 - x^{2n}} > \sqrt{1 - x^2}$.इसलिए, $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2n}}} दोनों पक्षों का $0$ से $1/2$ तक समाकलन करने पर:$I अतः, सभी $n \in N$ के लिए, $I \leq \frac{\pi}{6}$.

$\int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}$ का मान $(n \in N)$ है

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माना $x \in R$ के लिए,$S_0(x) = x$,$S_k(x) = C_k x + k \int_0^x S_{k-1}(t) dt$,जहाँ $C_0 = 1$,$C_k = 1 - \int_0^1 S_{k-1}(x) dx$,$k = 1, 2, 3, \ldots$. तो $S_2(3) + 6C_3$ का मान $...........$ है।

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot ^9 x \, dx =$

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है जो $x$ से बड़ा नहीं है,तो $\int_0^8 [x] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $2f(x) - 3f\left( \frac{1}{x} \right) = x$ है,तो $\int_1^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

ट्रैपेज़ॉइडल नियम का उपयोग करके $4$ समान अंतराल के साथ $\int_{1}^{9} x^2 dx$ का अनुमानित मान क्या है?

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