sumlimits_{k = 1}^6 {left( {sin frac{{2pi k}} | vedclass

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Question

(D) माना $z = \cos \frac{{2\pi }}{7} + i\sin \frac{{2\pi }}{7}$ है। डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,${z^k} = \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}

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$i$

Vedclass · Answer

(D) माना $z = \cos \frac{{2\pi }}{7} + i\sin \frac{{2\pi }}{7}$ है। डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,${z^k} = \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7}$ होता है।दिया गया योग $S = \sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7}} ight)}$ है।हम योग के अंदर के पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7} = -i \left( \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7} ight) = -i z^k$।अतः,$S = -i \sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -i (z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6)$।चूंकि $z$ इकाई का $7$ वां मूल है ($z^7 = 1$ और $z 
eq 1$),इकाई के सभी $7$ वें मूलों का योग $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0$ होता है।इसलिए,$\sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -1$।इस मान को $S$ के समीकरण में रखने पर,हमें $S = -i(-1) = i$ प्राप्त होता है।

$\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7}} \right)} $ का मान क्या है?

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