यदि n एक पूर्णांक है जिसे 3 से विभाजित करने प | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया है कि $n = 3r + 1$,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है। हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$।

Vedclass · Accepted Answer

$-(-2)^n$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $n = 3r + 1$,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है। हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$। अतः,$1 + i\sqrt{3} = -2\omega^2$ और $1 - i\sqrt{3} = -2\omega$। इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $(1 + i\sqrt{3})^n + (1 - i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$ $= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$ चूँकि $n = 3r + 1$,इसलिए $\omega^n = \omega$ और $\omega^{2n} = \omega^2$। अतः,व्यंजक $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ हो जाता है। चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$। अतः,परिणाम $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ प्राप्त होता है।

यदि $n$ एक पूर्णांक है जिसे $3$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है,तो $(1+\sqrt{3}i)^n + (1-\sqrt{3}i)^n$ का मान क्या होगा?

Similar Questions

यदि $\theta = \frac{\pi}{6}$ है,तो श्रेणी $1 + (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta + i \sin \theta)^2 + (\cos \theta + i \sin \theta)^3 + \ldots$ का $10$ वां पद क्या होगा?

यदि $x+iy=(-1+i\sqrt{3})^{2010}$ है,तो $x$ का मान क्या है?

यदि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है,तो $\sin \left[ (\omega^{10} + \omega^{23})\pi - \frac{\pi}{4} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $i = \sqrt{-1}$ है,तो $4 + 5\left(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^{334} + 3\left(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^{365}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module