int_{0}^{1} left( prod_{r=1}^{n} (x+r) right) | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = \prod_{r=1}^{n} (x+r)$.तब $\ln(f(x)) = \sum_{k=1}^{n} \ln(x+k)$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x)}

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$n \cdot n!$

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(D) माना $f(x) = \prod_{r=1}^{n} (x+r)$.तब $\ln(f(x)) = \sum_{k=1}^{n} \ln(x+k)$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k}$ प्राप्त होता है।अतः,$f'(x) = f(x) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k}$.समाकलन $\int_{0}^{1} f'(x) dx = [f(x)]_{0}^{1}$ हो जाता है।$f(1) = \prod_{r=1}^{n} (1+r) = 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n+1) = (n+1)!$.$f(0) = \prod_{r=1}^{n} (0+r) = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n = n!$.इसलिए,समाकलन का मान $(n+1)! - n! = n!(n+1-1) = n \cdot n!$ है।

$\int_{0}^{1} \left( \prod_{r=1}^{n} (x+r) \right) \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k} \right) dx$ का मान क्या है?

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यदि $\left( \int_{0}^{a} x \, dx \right) \le (a + 4)$ है,तो

मान लीजिए $\phi (x) = \int_{0}^{1} e^{x} e^{t} \phi (t) dt + x$. यदि $\phi (\ln (e^{2} - 3))$ का मान $A$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{1/4}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{x - x^2}} = $

मान लीजिए $f(x) = \int_0^x t(t^2 - 9t + 20) dt$,$1 \leq x \leq 5$ है। यदि $f$ का परिसर $[\alpha, \beta]$ है,तो $4(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int_{1}^{2} \frac{dx}{(x^2 - 2x + 4)^{3/2}} = \frac{k}{k+5}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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