sumlimits_{n = 1}^infty {left( {{{tan }^{ - | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે આપેલ સરવાળો $S = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {{{	an }^{ - 1}}\left( {\frac{n}{{n + 2}}} ight) - {{	an }^{ - 1}}\left( {\frac{{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi }{4}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે આપેલ સરવાળો $S = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {{{	an }^{ - 1}}\left( {\frac{n}{{n + 2}}} ight) - {{	an }^{ - 1}}\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} ight)} ight)} $ છે. આ $\sum (f(n) - f(n-1))$ સ્વરૂપની ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે. ધારો કે $f(n) = 	an^{-1}\left(\frac{n}{n+2}ight)$. સરવાળો $\lim_{N 	o \infty} \sum_{n=1}^{N} (f(n) - f(n-1))$ છે. સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $S = (f(1) - f(0)) + (f(2) - f(1)) + (f(3) - f(2)) + \dots + (f(N) - f(N-1))$. $S = f(N) - f(0)$. $f(N) = 	an^{-1}\left(\frac{N}{N+2}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{1}{1 + 2/N}ight)$. જેમ $N 	o \infty$,$f(N) 	o 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$. $f(0) = 	an^{-1}\left(\frac{0}{0+2}ight) = 	an^{-1}(0) = 0$. તેથી,$S = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{n}{{n + 2}}} \right) - {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)} \right)} $ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\sum\limits_{r = 1}^{100} {\frac{{\tan \,{2^{r - 1}}}}{{\cos \,{2^r}}}} $ ની કિંમત શોધો.

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ પદો}) = \frac{k n}{4(n + 1)}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}}{{{1^3}}} + \frac{{\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}}{{{1^3} + {2^3}}} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2}}}{{{1^3} + {2^3} + {3^3}}} + \dots + n \text{ પદો} =$

વિધાન-$1$: શ્રેણી $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ નો સરવાળો $8000$ છે.
વિધાન-$2$: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module