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Question

(B) माना $S = \sum\limits_{r = 1}^{19} \frac{{}^{20}C_{r+1}(-1)^r}{2^{2r+1}}$.हम पद को $\frac{1}{2} \sum\limits_{r=1}^{19} {}^{20}C_{r+1} \left(-\frac

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$-2\left( {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{20}} + 4} \right)$

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(B) माना $S = \sum\limits_{r = 1}^{19} \frac{{}^{20}C_{r+1}(-1)^r}{2^{2r+1}}$.हम पद को $\frac{1}{2} \sum\limits_{r=1}^{19} {}^{20}C_{r+1} \left(-\frac{1}{4}\right)^r$ के रूप में लिख सकते हैं।माना $k = r+1$,तो $r = 1$ से $19$ तक के लिए $k = 2$ से $20$ तक होगा।$S = \frac{1}{2} \sum\limits_{k=2}^{20} {}^{20}C_k \left(-\frac{1}{4}\right)^{k-1} = -2 \sum\limits_{k=2}^{20} {}^{20}C_k \left(-\frac{1}{4}\right)^k$.द्विपद विस्तार $(1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n {}^{n}C_k x^k$ का उपयोग करते हुए,$\sum\limits_{k=2}^{20} {}^{20}C_k \left(-\frac{1}{4}\right)^k = (\frac{3}{4})^{20} - 1 + 5 = (\frac{3}{4})^{20} + 4$.अतः,$S = -2 \left( (\frac{3}{4})^{20} + 4 \right)$.

$\sum\limits_{r = 1}^{19} {\frac{{{}^{20}{C_{r + 1}}{(-1)}^r}}{{{2^{2r + 1}}}}}$ का मान है

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