फलन f(x) = 1 + x + intlimits_1^x (ln^2 t + 2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करके): $f'(x) = 1 + (\

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$1 + 2 e^{-1}$

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(D) दिया गया है $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करके): $f'(x) = 1 + (\ln^2 x + 2 \ln x) = 0$. यह $(\ln x + 1)^2 = 0$ के रूप में सरल होता है,जिससे $\ln x = -1$ अर्थात $x = e^{-1}$ प्राप्त होता है। अब,$f(e^{-1}) = 1 + e^{-1} + \int\limits_1^{e^{-1}} (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$ का मान ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि $\frac{d}{dt}(t \ln^2 t) = \ln^2 t + 2 \ln t$ है। अतः,$\int (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt = t \ln^2 t$ है। निश्चित समाकलन का मान रखने पर: $f(e^{-1}) = 1 + e^{-1} + [t \ln^2 t]_1^{e^{-1}} = 1 + e^{-1} + (e^{-1} \cdot (-1)^2 - 0) = 1 + 2e^{-1}$।

फलन $f(x) = 1 + x + \int\limits_1^x (\ln^2 t + 2 \ln t) \, dt$ का मान जहाँ $f'(x) = 0$ होता है,है:

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$\int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x=$

यदि $F(x) = \frac{1}{x^2} \int_4^x (4t^2 - 2F'(t)) \, dt$ है,तो $F'(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {Limit}\limits_{x \to {x_1}} \,\,\frac{x}{{x - {x_1}}}\,\,\int\limits_{{x_1}}^x {f(t)} \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 x \cos^4 x \, dx =$

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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