समाकलन $\int \limits_1^3 \left((x-2)^4 \sin^3(x-2) + (x-2)^{2019} + 1\right) dx$ का मान है

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+(\cot x)^{101}} = $

$\int_{1}^{6\pi}([\sec^{-1}x]+[\cot^{-1}x])dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

मान लीजिए $T > 0$ एक निश्चित संख्या है। $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है ताकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x+T) = f(x)$ हो। यदि $I = \int_0^T f(x) dx$ है,तो $\int_0^{5T} f(2x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx$ है,तो $\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx =$

$\int_{\,\pi /6}^{\,\pi /3} {\,\frac{{dx}}{{1 + \sqrt {\cot x} }}} $ का मान ज्ञात कीजिए।