समाकलन int limits_{-log _{e} 2}^{log _e 2} e^ | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \limits_{-\ln 2}^{\ln 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$.$e^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^x dx = dt$ प्राप्त होता ह

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$\log _e\left(\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)-\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \limits_{-\ln 2}^{\ln 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$.$e^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^x dx = dt$ प्राप्त होता है। जब $x = -\ln 2$,तब $t = 1/2$ और जब $x = \ln 2$,तब $t = 2$.$I = \int \limits_{1/2}^{2} \ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right) dt$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u dv = uv - \int v du$. $u = \ln(t+\sqrt{1+t^2})$ और $dv = dt$ लेने पर.$du = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$ प्राप्त होता है।$I = [t \ln(t+\sqrt{1+t^2})]_{1/2}^{2} - \int \limits_{1/2}^{2} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt$.$I = [2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})] - [\sqrt{1+t^2}]_{1/2}^{2}$.$I = 2 \ln(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - (\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{2})$.$I = \ln \left( \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{5})^2}{\sqrt{1+\sqrt{5}}} \right) - \frac{\sqrt{5}}{2}$.

समाकलन $\int \limits_{-\log _{e} 2}^{\log _e 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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