समाकल int_{-2}^{2}(1+2 sin x) e^{|x|} d x का | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$. हम समाकल को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-2}^{2} e^{|x|} d x + 2 \int_{-2}^{2} \sin

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$2(e^{2}-1)$

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(C) माना $I = \int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$. हम समाकल को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-2}^{2} e^{|x|} d x + 2 \int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x$. पहले भाग पर विचार करें: $f(x) = e^{|x|}$. चूँकि $f(-x) = e^{|-x|} = e^{|x|} = f(x)$, इसलिए $f(x)$ एक सम फलन है। अतः, $\int_{-2}^{2} e^{|x|} d x = 2 \int_{0}^{2} e^{x} d x = 2[e^{x}]_{0}^{2} = 2(e^{2}-1)$. दूसरे भाग पर विचार करें: $g(x) = \sin x e^{|x|}$. चूँकि $g(-x) = \sin(-x) e^{|-x|} = -\sin x e^{|x|} = -g(x)$, इसलिए $g(x)$ एक विषम फलन है। अतः, $\int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x = 0$. इसलिए, $I = 2(e^{2}-1) + 2(0) = 2(e^{2}-1)$.

समाकल $\int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$ का मान किसके बराबर है?

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यदि ${I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^n}x\,dx}$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,n({I_n} + {I_{n - 2}})$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right) d x=$

$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx =$

$\int_{-1}^3 \left(\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx =$

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