સંકલન int_0^infty frac{log_e(x)}{x^2+4} dx નુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.$x = 2t$ આદેશ લેતા, $dx = 2 dt$. જ્યારે $x 	o 0, t 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \infty, t 	o

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi \log_e(2)}{4}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.$x = 2t$ આદેશ લેતા, $dx = 2 dt$. જ્યારે $x 	o 0, t 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \infty, t 	o \infty$.$I = \int_0^\infty \frac{\log_e(2t)}{4t^2+4} (2 dt) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(2) + \log_e(t)}{t^2+1} dt$.$I = \frac{\log_e(2)}{2} \int_0^\infty \frac{1}{t^2+1} dt + \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt$.બીજા સંકલન માટે, $t = 1/u$ લેતા, $dt = -1/u^2 du$. સીમાઓ $\infty$ થી $0$ માં બદલાશે.$\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = \int_\infty^0 \frac{\log_e(1/u)}{(1/u)^2+1} (-1/u^2) du = \int_0^\infty \frac{-\log_e(u)}{1+u^2} du = -\int_0^\infty \frac{\log_e(u)}{u^2+1} du$.આનો અર્થ એ છે કે $\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = 0$.તેથી, $I = \frac{\log_e(2)}{2} [\arctan(t)]_0^\infty = \frac{\log_e(2)}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi \log_e(2)}{4}$.

સંકલન $\int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$\int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-1/2}^{1/2} \left( [x] + \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right) dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે):

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,$\int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module