समाकलन int_{-1}^{1} frac{d}{dx} left( tan^{-1 | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = 	an^{-1} \frac{1}{x}$ है। समाकलन $\int_{-1}^{1} f'(x) dx = [f(x)]_{-1}^{1} = f(1) - f(-1)$ है।यहाँ $f(1) = 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}

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$-\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(C) माना $f(x) = 	an^{-1} \frac{1}{x}$ है। समाकलन $\int_{-1}^{1} f'(x) dx = [f(x)]_{-1}^{1} = f(1) - f(-1)$ है।यहाँ $f(1) = 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ और $f(-1) = 	an^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$ है।चूँकि $x = 0$ पर फलन असतत है,यह एक अनुचित समाकलन है: $\int_{-1}^{1} f'(x) dx = \lim_{\epsilon 	o 0^+} \int_{-1}^{-\epsilon} f'(x) dx + \lim_{\delta 	o 0^+} \int_{\delta}^{1} f'(x) dx$.$= [f(-\epsilon) - f(-1)] + [f(1) - f(\delta)] = (	an^{-1}(-1/\epsilon) - 	an^{-1}(-1)) + (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(1/\delta))$.जब $\epsilon, \delta 	o 0$,तब $	an^{-1}(-1/\epsilon) 	o -\frac{\pi}{2}$ और $	an^{-1}(1/\delta) 	o \frac{\pi}{2}$ होता है।परिणाम $= (-\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{4})) + (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$.

समाकलन $\int_{-1}^{1} \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \frac{1}{x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

यदि $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \sin x + \cos x} = \ln 2$ दिया गया है,तो निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि सीमा $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ का अस्तित्व है और यह $\frac{1}{2}$ से बड़ा है। तो,

यदि $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,और $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ है,तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}\right) dx =$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx =$

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