$A(5, -1, 1)$, $B(7, -4, p)$, $C(1, -6, 10)$, અને $D(-1, -3, 7)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $11 \text{ cubic units}$ છે. $p$ ની એક કિંમત શોધો.

જો $\overline{p}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overline{q}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ હોય,તો સદિશ $\overline{q}$ ને લંબ અને $\overline{p}$ તથા $\overline{q}$ સાથે સમતલીય હોય તેવા $5 \sqrt{3}$ માન ધરાવતો સદિશ શોધો.

જો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{c} = x\hat{i} + (x - 2)\hat{j} - \hat{k}$ ત્રણ સદિશો એવા છે કે જેથી $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોય, તો $x = ...$

જો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\vec{p}, \vec{q}$, અને $\vec{r}$ ને $\vec{p}=\frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q}=\frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r}=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c}+\vec{a}) \cdot \vec{r}$ ની કિંમત શોધો.

જો $-2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{j}-\hat{k}$ અને $\lambda\hat{j}+\hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોય, તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S$ એ તમામ $(\lambda, \mu)$ નો ગણ છે જેના માટે સદિશો $\lambda \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + 2\hat{j} + \mu \hat{k}$ અને $3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$,જ્યાં $\lambda - \mu = 5$,સમતલીય છે,તો $\sum_{(\lambda, \mu) \in S} 80(\lambda^2 + \mu^2)$ ની કિંમત શોધો: