જો $-2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{j}-\hat{k}$ અને $\lambda\hat{j}+\hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોય, તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

$[(a \times b) \times (b \times c), (b \times c) \times (c \times a), (c \times a) \times (a \times b)] = \,$

સમાંતરફલક (parallelepiped) ની ઊંચાઈ શોધો,જેના સહ-અંતિમ ધાર સદિશો $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\bar{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$,અને $\bar{c}=\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ છે,જ્યાં $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એ સમાંતરફલકના પાયાની બાજુઓ છે.

એક સમાંતર ષષ્ટફલક (parallelepiped) કે જેની ધાર એકમ સદિશો $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે,જ્યાં $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = \frac{1}{2}$ હોય,તો તેનું ઘનફળ શોધો.

જો $x, y$ અને $z$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ એવા હોય કે જેથી $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ થાય,તો $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની કિંમત શોધો.

જો $a=2u+3v+7w$, $b=u+v-2w$ અને $c=-u-2v-3w$ હોય, તો $\left|\frac{[u, v, w]}{[a, b, c]}\right|(a+b+c) = $