समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी भुजाएं $-12i + \alpha k$,$3j - k$ और $2i + j - 15k$ द्वारा निरूपित हैं,$546$ है। तो $\alpha = $

यदि $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = -\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ और $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = -3$,तो $\frac{1}{3}((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$ का मान ............ है।

यदि $\vec{r}$ एक सदिश है जो सदिशों $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ दोनों के लंबवत है और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=5$ को संतुष्ट करता है, तो $|\vec{r}|=$

कथन-$1$: यदि बिंदु $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, z)$ और $(1, 1, 1)$ समतलीय हैं,तो $z = 2$ है।
कथन-$2$: यदि $4$ बिंदु $P, Q, R$ और $S$ समतलीय हैं,तो चतुष्फलक $PQRS$ का आयतन $0$ होता है।

यदि $\bar{a}=\hat{i}+5 \hat{k}, \bar{b}=2 \hat{i}+3 \hat{k}, \bar{c}=4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\bar{d}=\hat{i}-\hat{j}$ है,तो $(\bar{c}-\bar{a}) \cdot(\bar{b} \times \bar{d})=$

यदि $\bar{a}, \bar{b}$ और $\bar{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं और $|\bar{a}| = 1, |\bar{b}| = 3$ तथा $|\bar{c}| = 5$ है,तो $[\bar{a} - 2\bar{b}, \bar{b} - 3\bar{c}, \bar{c} - 4\bar{a}]$ का मान ज्ञात कीजिए।