सह-किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित चतुष्फलक का आयतन $3$ है। तो सह-किनारों $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन क्या होगा?

मान लीजिए कि $a, b$ और $c$ भिन्न गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं। यदि सदिश $a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ और $c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $c = \dots$

यदि $x, y$ और $z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं और $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ है,तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ असमतलीय सदिश हैं और $p, q$ वास्तविक संख्याएँ हैं,तो समानता $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] - [p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] - [2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 0$ किसके लिए सत्य है?

यदि $\alpha (a \times b) + \beta (b \times c) + \gamma (c \times a) = 0$ और $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ में से कम से कम एक संख्या शून्येतर है,तो सदिश $a, b$ और $c$ हैं

$\lambda$ के कितने भिन्न वास्तविक मानों के लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} - \lambda^2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\hat{i} + \hat{j} - \lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं?