एक हॉल में $10$ लैंप हैं। उनमें से प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से चालू किया जा सकता है। हॉल को प्रकाशित करने के तरीकों की संख्या है

एक क्लब में $6$ पुरुष और $8$ महिलाएँ हैं,जिनमें से $5$ लोगों की एक समिति बनानी है। यदि किसी भी पुरुष का चयन नहीं किया जाता है,तो $5$ लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या होगी?

कथन-$1$: $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,$^9C_3$ है।
कथन-$2$: $9$ अलग-अलग स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^9C_3$ है।

यदि $^{2n}C_2 : ^nC_2 = 9:2$ और $^nC_r = 10$ है,तो $r = $

मान लीजिए कि $T_n$ उन त्रिभुजों की संख्या को दर्शाता है जिन्हें $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्षों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। यदि $T_{n + 1} - T_n = 21$ है,तो $n$ का मान क्या है:

यदि एक नियमित बहुभुज में विकर्णों की संख्या $54$ है,तो इस बहुभुज की भुजाओं की संख्या क्या है?