$(n + 1)$ સફેદ અને $(n + 1)$ કાળા દડા છે,જેમાં દરેક સેટને $1$ થી $n + 1$ નંબર આપવામાં આવ્યા છે. દડાઓને હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી કોઈ પણ બે પાસપાસેના દડા સમાન રંગના ન હોય.

$n \geq 2$ માટે,ધારો કે $S_n$ એ $\{1, 2, \ldots, n\}$ ના એવા તમામ ઉપગણોનો સમૂહ છે જેમાં કોઈ પણ બે ઘટકો ક્રમિક ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે,$\{1, 3, 5\} \in S_6$,પરંતુ $\{1, 2, 4\} \notin S_6$. તો $n(S_5)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$A, B, C, D, E$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને પાંચ અક્ષરના તમામ શબ્દો બનાવવામાં આવે છે અને અંગ્રેજી શબ્દકોશ મુજબ ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. ધારો કે $n$ ક્રમાંક પરના શબ્દને $W_{n}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. જો શબ્દ $W_{n}$ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_{n}) = 2P(W_{n-1}), n > 1$ નું પાલન કરે છે. જો $P(CDBEA) = \frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}, \alpha, \beta \in N$ હોય,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $x$ અને $y$ બે $2$-અંકી સંખ્યાઓ છે જેથી $y$ એ $x$ ના અંકોને ઉલટાવવાથી મળે છે. ધારો કે તેઓ કોઈ ધન પૂર્ણાંક $m$ માટે $x^2-y^2=m^2$ નું પાલન કરે છે. તો $x+y+m$ નું મૂલ્ય શોધો.

$n$ સફેદ અને $n$ કાળા દડા છે, જેમને $1, 2, 3, \ldots, n$ અંકિત કરેલા છે. આ દડાઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી પાસપાસેના દડાઓ અલગ અલગ રંગના હોય?

$HULULULU$ શબ્દના અક્ષરોને ફરીથી ગોઠવવામાં આવે છે. ત્રણેય $L$ સાથે હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?