એક પેટીમાં $10$ સિક્કા છે, જેમાંથી $8$ સામાન્ય છે અને બાકીના સિક્કા બંને બાજુ છાપ (heads) વાળા છે. પેટીમાંથી એક સિક્કો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેને $6$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે. જો દરેક વખતે છાપ મળે, તો પસંદ કરેલ સિક્કો બંને બાજુ છાપ વાળો હોય તેની સંભાવના કેટલી?

ધારો કે $n_1$ અને $n_2$ એ બોક્સ $I$ માં અનુક્રમે લાલ અને કાળા દડાઓની સંખ્યા છે. ધારો કે $n_3$ અને $n_4$ એ બોક્સ $II$ માં અનુક્રમે લાલ અને કાળા દડાઓની સંખ્યા છે.
$1.$ બે બોક્સ,બોક્સ $I$ અને બોક્સ $II$ માંથી એકને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યું અને તેમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવ્યો. દડો લાલ રંગનો જોવા મળ્યો. જો આ લાલ દડો બોક્સ $II$ માંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{3}$ હોય,તો $n_1, n_2, n_3$ અને $n_4$ ના શક્ય મૂલ્યો સાથેનો સાચો વિકલ્પ(ઓ) છે:
$(A)$ $n_1=3, n_2=3, n_3=5, n_4=15$
$(B)$ $n_1=3, n_2=6, n_3=10, n_4=50$
$(C)$ $n_1=8, n_2=6, n_3=5, n_4=20$
$(D)$ $n_1=6, n_2=12, n_3=5, n_4=20$
$2.$ બોક્સ $I$ માંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢીને બોક્સ $II$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો આ સ્થાનાંતરણ પછી બોક્સ $I$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ હોય,તો $n_1$ અને $n_2$ ના શક્ય મૂલ્યો સાથેનો સાચો વિકલ્પ(ઓ) છે:
$(A)$ $n_1=4, n_2=6$
$(B)$ $n_1=2, n_2=3$
$(C)$ $n_1=10, n_2=20$
$(D)$ $n_1=3, n_2=6$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

એક પેટી $A$ માં $2$ સફેદ,$3$ લાલ અને $2$ કાળા દડા છે. બીજી પેટી $B$ માં $4$ સફેદ,$2$ લાલ અને $3$ કાળા દડા છે. જો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલી પેટીમાંથી બે દડા યાદચ્છિક રીતે,પુરવણી વગર કાઢવામાં આવે અને એક દડો સફેદ અને બીજો દડો લાલ નીકળે,તો બંને દડા પેટી $B$ માંથી કાઢવામાં આવ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $H_1, H_2, \ldots, H_{n}$ એ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(H_i) > 0, i = 1, 2, \ldots, n$. ધારો કે $E$ એ બીજી કોઈ ઘટના છે જ્યાં $0 < P(E) < 1$.
$\text{વિધાન}-1$: $P(H_i \mid E) > P(E \mid H_i) \cdot P(H_i)$ દરેક $i = 1, 2, \ldots, n$ માટે.
$\text{વિધાન}-2$: $\sum_{i=1}^{n} P(H_i) = 1$.

$400$ લોકોના સમૂહમાં,$160$ ધૂમ્રપાન કરનારા અને માંસાહારી છે,$100$ ધૂમ્રપાન કરનારા અને શાકાહારી છે,અને બાકીના $140$ ધૂમ્રપાન ન કરનારા અને શાકાહારી છે. તેમને છાતીના ચોક્કસ વિકાર થવાની શક્યતા અનુક્રમે $35\, \%, 20 \,\%$ અને $10 \,\%$ છે. સમૂહમાંથી એક વ્યક્તિને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તે છાતીના વિકારથી પીડાતી હોવાનું જણાય છે. પસંદ કરેલી વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર અને માંસાહારી હોવાની સંભાવના ...... છે.

થેલી $A$ માં $3$ સફેદ અને $5$ કાળી દડા છે, જ્યારે થેલી $B$ માં $4$ સફેદ અને $3$ કાળી દડા છે. થેલી $A$ માંથી યાદચ્છિક રીતે એક દડો પસંદ કરવામાં આવે છે અને થેલી $B$ માં મૂકવામાં આવે છે. જો હવે થેલી $B$ માંથી યાદચ્છિક રીતે એક દડો પસંદ કરવામાં આવે, તો આ દડો સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?