$\Delta ABC$ ના તમામ શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતું એક અને માત્ર એક જ વર્તુળ હોય છે. આ વર્તુળને $\Delta ABC$ નું ............. કહેવામાં આવે છે.

કેન્દ્ર $P$ વાળા વર્તુળમાં,$AB$ જીવા છે અને $PA = 4\, cm$ છે. કેન્દ્ર $Q$ વાળા વર્તુળમાં,$XY$ જીવા છે અને $QX = 4\, cm$ છે. જો $\angle APB = 80^{\circ}$,$\angle XQY = 50^{\circ}$ અને $AB = 5\, cm$ હોય,તો $XY = \dots\dots\dots\, cm$.

એક વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $AC$ કેન્દ્ર આગળ અનુક્રમે $90^{\circ}$ અને $150^{\circ}$ ના ખૂણા આંતરે છે. જો $AB$ અને $AC$ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય,તો $\angle BAC$ શોધો.

નીચેના દરેક વિધાન માટે ખરું કે ખોટું જણાવો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો:
જો $A, B, C, D$ એવા ચાર બિંદુઓ હોય કે જેથી $\angle BAC = 30^{\circ}$ અને $\angle BDC = 60^{\circ}$ થાય, તો $D$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

$O$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે અને $D$ એ પાયા $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\angle BOD = \angle A$.

$ABCD$ એક એવો ચતુષ્કોણ છે કે જેમાં $A$ એ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. સાબિત કરો કે $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.